Los tres toreros de las matemáticas:
teoría KAM.
Por Cristina Sardón Muñoz y Víctor Arnaiz Solórzano, investigadores del ICMAT *.
Simulaciones numéricas en mecánica celeste,
realizadas a partir de la Relatividad General, auguran al sistema solar una
buena estabilidad, ya que todo apunta a que durante los cinco mil millones de
años de vida que, aproximadamente, le quedan al Sol, el sistema solar
permanecerá relativamente tranquilo, sin alteraciones sustanciales.
Pero es muy difícil saber si la órbita terrestre está confinada dentro de
un toro invariante o por el contrario sigue un
curso caótico.
Aprovechando el
cierre de la feria taurina de San Isidro (España), vamos a hablar de toros.
Aunque muchas personas lo desconozcan, la palabra toro en castellano
tiene dos acepciones:
1- Del latín tauros, se refiere al macho bovino
adulto, símbolo del carácter poético y vital español para algunos, mártir en un
bárbaro festejo para otros.
2- Del latín torus, define la superficie de
revolución engendrada por una circunferencia que rota alrededor de un eje de
simetría, contenido en su mismo plano y exterior a la circunferencia.
Este volumen
geométrico tiene forma de una inofensiva rosquilla, objeto con el que lidia la teoría
KAM, uno de los hitos matemáticos del pasado siglo XX y la
mayor aportación al estudio de los sistemas dinámicos desde los trabajos del
matemático y físico Henri Poincaré en mecánica celeste, a finales del XIX.
La teoría recibe su nombre de los tres matemáticos que la
descubrieron: Andréi Kolmogorov,
Vladímir Arnold y Jürgen Moser (KAM). Y como en un festejo
taurino, estos tres matemáticos lucharon contra sus toros geométricos.
La nueva sorprendente teoría
En 1954, durante el
Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Amsterdam, Kolmogorov (Moscú, 1903-1987) saltó
al ruedo para exponer una nueva y sorprendente teoría, que estudiaba la
estabilidad de ciertos sistemas dinámicos similares al sistema solar.
Cincuenta años antes, Poincaré había señalado que en sistemas de tres o más cuerpos
celestes era muy complicado predecir con exactitud la trayectoria que seguiría
cada uno, debido a las interacciones gravitacionales. Sin embargo, Kolmogorov afirmó que, aunque no
podamos resolver explícitamente las ecuaciones que rigen el sistema de manera
global, la mayor parte de la dinámica resiste pequeñas perturbaciones, y es,
por tanto, predecible. Esta afirmación podría explicar la estabilidad de las
órbitas de los planetas y que el sistema solar permanezca siempre tal y como lo
conocemos.
En los años posteriores, Arnold (Odesa, 1937-2010), que también estudió en Moscú, y Moser (Königsberg, 1928-1999), de la
escuela alemana y posterior profesor del MIT en EEUU, recibieron la alternativa
de Kolmogorov para proseguir con el
desarrollo de la teoría KAM.
Sistemas físicos integrables
La teoría KAM
estudia sistemas dinámicos próximos a ser integrables. Decimos que un sistema
físico es integrable si las ecuaciones que lo modelizan pueden resolverse. Por
el contrario, un sistema no es integrable si no tenemos “suficientes pistas”
para encontrar fórmulas explícitas que determinen su evolución.
En mecánica celeste, el modelo clásico de dos cuerpos
orbitando uno en torno al otro, es un sistema integrable. Por ejemplo, el
sistema Tierra-Sol viene descrito por las órbitas elípticas de la tierra frente
al sol y viceversa. Sin embargo, un tercer cuerpo añadido al modelo, como la
Luna, introduce perturbaciones muy difíciles de predecir de manera precisa en
periodos largos de tiempo (millones de años).
Cuando el sistema es integrable, el espacio de fases está
dividido en regiones con forma de toro y estos son invariantes bajo el régimen
dinámico. Esto quiere decir que la órbita del sistema estará confinada en uno
de los toros geométricos, sin abandonarlo. Además, esta órbita es
aproximadamente periódica, en el sentido de que tras un intervalo de tiempo, la
órbita vuelve a pasar cerca de la posición que ocupaba antes, pero no
necesariamente la misma. A estas trayectorias se les denomina órbitas
cuasiperiódicas. He aquí, pues, la cuestión fundamental de la teoría KAM:
si se perturba un sistema integrable ligeramente (por ejemplo, añadiendo otro
cuerpo relativamente pequeño), algunos de estos toros se deformarán junto con
sus órbitas cuasiperiódicas, pero sobrevivirán a la perturbación, mientras que
otros serán destruidos dando lugar a dinámicas caóticas.
En el caso de nuestro sistema solar, es muy difícil saber
si la órbita terrestre está confinada dentro de un toro invariante o por el
contrario sigue un curso caótico. Los cálculos numéricos basados en la física
clásica de Newton no descartan comportamientos caóticos de la Tierra para
intervalos de pocos cientos de millones de años. Sin embargo, simulaciones
numéricas realizadas a partir de la Relatividad General auguran una mayor
estabilidad.
Todo apunta a que durante los cinco mil millones de años de vida
que, aproximadamente, le quedan al Sol, el sistema solar permanecerá
relativamente tranquilo. En términos celestes, parece que habitamos la piel de
un toro.
* ICMAT- Instituto de Ciencias Matemáticas. Instituto mixto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), de España, con tres universidades de Madrid: la Autónoma, la Carlos III y la Complutense.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario